Spielephysik (game physics): Impuls, Kraft, Arbeit und Energie

Da die Physik in modernen Computerspielen einen immer höheren Stellenwert einnimmt, sollte man sich zumindest mit einigen wenigen physikalischen Grundbegriffen vertraut machen. Besonders die Hobby-Entwickler unter Ihnen werden sich früher oder später mit dem Thema Spielephysik auseinandersetzen müssen, wenn die Evaluierung und mögliche Integration einer Physik-Engine in das eigene Spieleprojekt ansteht. Dieser Artikel soll Ihnen die wichtigen Begriffe Impuls, Kraft, Arbeit und Energie ein wenig näher bringen ohne die Sache unnötig zu verkomplizieren.

Arbeit (W für work) und Energie sind uns zwar mehr oder weniger gut aus dem Alltag vertraut, es ist jedoch zunächst nicht ganz einfach, ihre Bedeutung physikalisch exakt zu erfassen, da beide Begriffe in gegenseitiger Abhängigkeit voneinander definiert werden. In Worten drückt sich das wie folgt aus:

  • Energie ist die Fähigkeit, an einem Körper Arbeit zu verrichten.
  • Arbeit erhöht den Energiegehalt eines Körpers.

Es gibt viele Formen von Energie, die sich wechselseitig ineinander umwandeln können. Dennoch lassen sich alle Formen einteilen in:

  • kinetische Energie (Bewegungsenergie)
  • potentielle Energie (Lageenergie)

Hinweis:
Die wechselseitige Umwandlung von potentieller und kinetischer Energie, von Höhe in Geschwindigkeit und umgekehrt, wird nirgends so deutlich wie bei einer rasanten Achterbahnfahrt.

Ein Körper besitzt nun umso mehr Bewegungsenergie (kinetische Energie), je größer seine Geschwindigkeit v ist. Genau genommen interessiert uns hier lediglich der Geschwindigkeitsbetrag, denn für den Energiegehalt eines Körpers spielt die Bewegungsrichtung keine Rolle. Ändert sich nun die Geschwindigkeit, dann ändert sich dementsprechend auch die kinetische Energie. Dieser proportionale Zusammenhang drückt sich in Gleichungsform wie folgt aus:




Neben der Geschwindigkeit ist die kinetische Energie darüber hinaus auch von der Masse m des Körpers abhängig. Je größer die Masse, umso mehr Energie wird gespeichert.
Um das Zusammenspiel von Masse und Geschwindigkeit besser zu verdeutlichen, fasst man beides zu einer neuen physikalischen Größe zusammen – dem Impuls:




Für eine unendlich kleine Energieänderung geht die Differenzengleichung in eine Differentialgleichung über:




Durch Integration dieser Gleichung erhält man schließlich die allseits bekannte Formel für die kinetische Energie:





Die Energieänderung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeitsänderung berechnet sich mithilfe des bestimmten Integrals:





Der Energiegehalt eines Körpers kann sich auch unabhängig von seiner Geschwindigkeit ändern. Dies wird deutlich, wenn wir die Differentialgleichung etwas anders aufschreiben und anstelle der Geschwindigkeit den Differentialquotienten (ds/dt) einsetzen:





In Worten ausgedrückt, besagt diese Gleichung folgendes:

  • Bewegt sich ein Körper in einem Kraftfeld F parallel bzw. antiparallel zur Kraftrichtung, dann führt dies zu einer maximalen Änderung seiner potentiellen Energie. Bewegt sich ein Körper hingegen senkrecht zur Kraftrichtung, dann bleibt seine potentielle Energie unverändert. Diese Abhängigkeit wird durch das Punktprodukt (Skalarprodukt) zwischen F und ds ausgedrückt.

Um die Änderung der Energie zu berechnen, müssen wir die Gleichung integrieren:




Das uns wohl vertrauteste Beispiel für solch ein Kraftfeld ist die Gravitation (Gewichtskraft), die wir und alle Körper um uns herum täglich zu spüren bekommen – dabei werden alle Objekte mit der konstanten Fallbeschleunigung g in Richtung Boden beschleunigt bzw. auf dem Boden gehalten:




Die Änderung der potentiellen Energie ist lediglich proportional zur Höhenänderung:





In der Regel sind die Kraftausdrücke jedoch so kompliziert, dass sich das Integral nicht mehr exakt auswerten lässt. In diesen Fällen sind wir auf ein numerisches Verfahren angewiesen.
Zu diesem Zweck unterteilt man die Bahn eines Teilchens in viele, möglichst kleine Streckenabschnitte, ermittelt für jeden dieser Abschnitte die mittlere Kraft, die auf den Körper einwirkt, berechnet die Änderung der Energie für jeden Streckenabschnitt j und bildet die Summe:







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