Spielephysik (game physics): Schwerpunkt, Massenpunktmodell eines Körpers (mass-aggregate bodies)

Woraus besteht die Materie und wie lässt sich ihr Verhalten beschreiben? Unzählige Wissenschaftler haben sich bereits mit diesen Problemen befasst, und auch heute ist es noch immer nicht möglich, eine erschöpfende Antwort auf diese Fragen zu geben. Im Jahre 1808 stellte der Naturforscher John Dalton auf Grundlage der damals durchgeführten Experimente die Hypothese auf, dass alle Materie aus kleinsten Teilchen, den Atomen bestehen müsse. Die Idee vom Atom wurde zwar bereits in der griechischen Antike geboren, jedoch war John Dalton der erste Forscher, der mithilfe dieser Idee die experimentellen Ergebnisse seiner Zeit schlüssig erklären könnte.
In ihrer einfachsten Form hilft uns die Atomhypothese das makroskopische Verhalten (Translations- und Rotationsbewegungen) von dreidimensionalen Körpern mathematisch zu beschreiben.

Hierbei betrachtet man die Atome als idealisierte Massenpunkte, die durch Bindungskräfte mehr oder weniger fest an eine bestimmte Position im Körper gebunden sind. Das makroskopische Verhalten des Körpers ergibt sich nun aus dem mikroskopischen Verhalten der gebundenen Massenpunkte. Für praktische Rechnungen ist diese Vorstellung natürlich nicht geeignet, da die Zahl der Atome einfach viel zu groß ist. Wir können uns jedoch der gleichen Idee bedienen und einen Körper durch eine mehr oder weniger große Anzahl von Massenelementen beschreiben, die zueinander einen mehr oder weniger fest vorgegebenen Abstand (weiche bzw. harte Körper) einhalten müssen. Jedes Massenelement behandeln wir ferner wie einen idealisierten Massenpunkt.

In diesem Zusammenhang werden wir im weiteren Verlauf immer vom Massenpunktmodell eines Körpers sprechen.

Um die Gesamtmasse eines Körpers zu bestimmen, müssen wir einfach die Summe aller Massenelemente berechnen, aus denen der Körper zusammengesetzt ist:

Im Rahmen der numerischen Beschreibung von Planetenbewegungen haben wir die Planeten und Monde als einfache Punktmassen behandelt. Die Ausdehnung der Himmelskörper haben wir bei unseren Betrachtungen völlig vernachlässigt.

Derjenige Punkt, in dem sich bei solch einer idealisierten Beschreibung die gesamte Masse zentrieren lässt, wird als Schwerpunkt (center of mass) bezeichnet. Allgemein gilt, dass bei symmetrischen Körpern (wie einer Kugel) mit konstanter Dichte der Schwerpunkt immer im Zentrum des Körpers liegt:

 

Bei nicht symmetrischen Körpern (unregelmäßige Verteilung der Massenelemente und oder der Dichte) stimmen Schwerpunkt und Mittelpunkt normalerweise nicht miteinander überein:

Die Position des Schwerpunkts(vektors) berechnet sich nun wie folgt: